А.Л.Шелепин

Баронивелирование в пещерах

Раздел 9 из неопубликованного и недописанного трактата
"Теоретическая спелеология с точки зрения любителя хождения по пещерам", 1995г,
переработанный и дополненный, октябрь 2004г.

Барометрическая формула высоты

h₁-h₂=(RT_m/g)ln(p₂/p₁)                   (1)

Полная формула Лапласа имеет вид [1]:

h = K₀*(1 + α *t_m)*(1 + 0.378 e_m/P_m)* (1 + β*Cos2φ)*(1 + 2/R*H_m) *lg(P₁/P₂).        (2)

В этой формуле:
P₁, P₂ - давление воздуха на высоте H₁ и H₂ соответственно,
P_m - среднее значение давления,
H_m - среднее значение высоты,
t_m, e_m - среднее значение температуры и влажности воздуха,
φ - среднее значение широты, β=0.00265,
α=0.003665≈1/273 град.^-1 - температурный коэффициент объемного расширения воздуха,
K₀ - коэффициент, равный 18400 при некоторых стандартных значениях давления воздуха и силы тяжести.

Известны и так называемые сокращенные барометрические формулы, в которых значения некоторых параметров состояния атмосферы приняты фиксированными; так в формуле М.В. Певцова:

h = N*(1 + α*t_m) *lg(P₁/P₂),

где N = 18470, принято: e_m = 9 мм рт.ст., φ = 55^o, H_m = 250 м, P_m = 740 мм рт.ст.

Оценка влияния различных факторов

Обратимся теперь к оценке влияния различных множителей в формуле (2).

Первый множитель k₁=(1 + α *t_m) учитывает зависимость плотности воздуха от температуры.
Для t=0⁰C имеем k₁=1, для t=20⁰C имеем k₁=1,073, или 73м на километр превышения.

Второй множитель k₂=(1 + 0.378 e_m/P_m) учитывает зависимость от средней влажности воздуха e_m - влажный воздух менее плотен, чем сухой. (Отношение плотностей водяного пара и сухого воздуха равно 1-0.378=0,622.)
e - это упругость (парциальное давление) водяного пара, измеряется в тех же единицах, что и давление. Относительной влажностью r называют отношение фактической упругости е водяного пара, находящегося в воздухе, к упругости насыщения Е при той же температуре, выраженное в процентах, т.е. r=(e/E)*100%.
В таблице приведены значения E при p=1000 мбар (750 мм рт.ст.).

t, oC	-10	-5	0	5	10	15	20	25	30
E, мм рт.ст.	1.9	3.0	4.6	6.5	9.3	12.8	17.5	23.7	31.8
E, мбар	2.6	4.0	6.1	8.7	12.4	17.1	23.4	31.7	42.4

Для e_m=9 мм рт.ст. имеем k₃=0.0046. Погрешность, возникающаяя при неучете этого коэффициента, составит 4.6м на километр превышения.

Третий множитель k₃=(1 + β*Cos2φ) учитывает то, что величина ускорения свободного падения на поверхности Земли зависит от широты φ.
На экваторе k₃ принимает максимальное значение, k₃=1,00265, на полюсах - минимальное, k₃=0,99735, на широте Кавказа и Крыма (примерно 44^o) имеем k₃=1,0001. Погрешность, возникающаяя при неучете этого коэффициента, составит 0.1м на километр превышения.

Четвертый множитель k₄=(1 + 2/R*H_m) учитывает уменьшение ускорения свободного падения с высотой H_m.
Для высоты H_m=0км имеем k₄=1, для высоты H_m=1км k₄=1,00031, для высоты H_m=2км k₄=1,00062. Погрешность, возникающаяя при неучете этого коэффициента, составит 0.3-0.6м на километр превышения.

Баронивелирование

Как отмечается в [1], "точность барометрического нивелирования невысока; средняя квадратическая ошибка измерения превышения колеблется от 0.3 м в равнинных районах до 2 м и более в горных".

Так как пещеры, в которых измеряется глубина, обычно расположены в горных районах, то поправки от третьего и четвертого множителей в (2) оказываются много меньше погрешности метода и могут быть отброшены как несущественные. В результате приходим к следующей формуле:

h₁-h₂ = 18400*(1 + α *t_m)*(1 + 0.378 e_m/P_m) *lg(P₂/P₁),        (3)

учитывающую средние температуру t_m и влажность e_m воздуха. (Учет отброшенных поправок для высоты 1км дал бы множитель 18407.)

При нормальных условиях (уровень моря, 0^oC) перепад давления в 1 мм.рт.ст. соответствует 10,5 м высоты. Так как изменения атмосферного давления имеют характерную амплитуду порядка 10 мм рт.ст., что соответствует примерно 100м высоты, то баронивелирование должно быть синхронным: давление должно измеряться одновременно в обеих точках, между которыми измеряется перепад высоты. Иначе ошибка может составить величину порядка 100м.

Особенности баронивелирования в пещерах

При отсутствии ветра (пещеры с входами, расположенными примерно на одном уровне, рис.1).
Расчет ведется по формуле (3), где t_m - средняя температура воздуха в пещере. Так как относительная влажность влажность в пещерах обычно мало отличается от 100%, то при учете влажности воздуха подставляется e=E.
Основной источник ошибок в этом случае - конечная скорость установления давления, равновесного с изменившимся атмосферным.
Эта ошибка впрочем может быть устранена при достаточно длительных измерениях (несколько дней) путем построения кривых изменения давления на поверхности и в пещере и нахождения времени задержки.
Подобным же образом можно уменьшить ошибку, связанную с суточными колебаниями давления (день-ночь, характерная амплитуда 1-2 мм рт.ст.)

При наличии ветра (пещеры с входами, расположенными на разной высоте, рис.2).
Здесь возникает вопрос - а какую температуру (пещерную или поверхностную) подставлять в формулу (3)? Если мы находимся рядом с нижним входом 2 (см. рис.2), то давление там равно давлению на поверхности на этой же высоте, а значит, в расчетах участвуют характеристики воздуха на поверхности.
В реальных случаях при наличии верхних и нижних входов (возможно, достаточно узких) давление будет промежуточным.

Какова же может быть величина ошибки? Если разница температур между поверхностью и пещерой составляет 15^oC, а перепад высоты составляет около 1км, то разница в расчетах составит 55м (5,5%), что немало. Это немного превышает типичную ошибку полуинструментальной съемки средней аккуратности (3-5%) и сильно превышает ошибку, возникающую при гидронивелировании.

При измерении давления летом (Δt=15^oC) и подсчете высоты по холодному столбу по формуле реальной атмосферы (2) глубина может оказаться заниженной на 55м на глубине 1000м, зимой (Δt=-15^oC) - завышенной на ту же величину. Эта ошибка будет тем больше, чем меньше сопротивление воздушному потоку по дороге от входа 2.

Т.е., если проводить расчет по пещерной температуре, то летом мы можем получить пещеру мельче, чем на самом деле, зимой - глубже. Поэтому целесообразно проводить измерения дважды - зимой и летом, когда возможные ошибки будут противоположными, либо в то время, когда температура на поверхности примерно соотвествует пещерной.

Итак, перечислим еще раз источники ошибок.

1. Ошибки измерительного прибора.
1.1. Чувствительность (~5м).
1.2. Температурная зависимость показаний, обусловленная внутренним устройством альтиметра. Выход: или использовать ''правильный'' альтиметр, или мерить при одной и той же температуре, или пересчитывать. Свойства самого альтиметра легко проверить, перенеся его из тепла в холод.

2. Ошибки, связанные с изменениями давления.
2.1. Изменение атмосферного давления (при изменении 10 мм.рт.ст. ошибка составит примерно 100м безотносительно глубины пещеры).
2.2. Конечная скорость установления давления, равновесного с изменившимся атмосферным.
2.3 Разность давлений, обусловленная разностью температуры внутри и снаружи (и являющууся причиной возникновения ветра при наличии нескольких входов). При разнице температур 15^oC ошибка может составить 0.055*h.

Ошибку, связанную с изменением атмосферного давления можно минимизировать двумя путями -
1. Синхронное баронивелирование;
2. Измерять достаточно быстро -- за время, существенно меньшее времени изменения атмосферного давления. В этом случае впрочем надо все равно иметь контрольный прибор (можно и в пещере), не перемещаемый по вертикали, иначе вполне возможно попасть на время быстрого изменения погоды; если же прибор единственный -- то надо быстро вернуть его в исходную точку.

Ошибку, связанную с разностью температуры внутри и снаружи, можно минимизировать, проводя измерения в разные времена года, когда она противоположна или минимальна.

Оценив максимальный размер возможных ошибок, рассмотрим теперь подробнее протекание воздуха по пещере, и в частности, ошибки, которые могут возникать при баронивелировании на коротких участках с сильным ветром. Для этого воспользуемся документом "Гидравлический расчет трубопровода"[4], примененным ранее для той же цели Дм.Шварцем [5].

Движение воздуха по каналу (трубе) приводит, вообще говоря, к возникновению перепада давления между различными точками канала, за счет, во-первых, сопротивления трения о стенки и, во-вторых, местных сопротивлений, возникающих при изменении направления или скорости движения.

Перепад давления, возникающий за счет трения о стенки, может быть с хорошей точностью рассчитан по формуле

Δp = λ(L/d)(ρv²/2) = λLG²/(2π²d⁵ρ),             (4)

где λ - коэффициент гидравлического сопротивления трения,
d и L - диаметр и длина трубы в метрах, v - скорость потока в м/с, ρ - плотность,
G - расход в кг/с, G=ρvπd².
(Формула (4) не учтывает сжимаемость газов, однако для наших оценок ее вполне достаточно; более точную формулу можно найти в [4].)

Коэффициент гидравлического сопротивления является функцией от числа Рейнольдса Re и отношения коэффициента k эквивалентной шероховатости поверхности к диаметру трубы d, λ = λ(Re, k/d). Число Рейнольдса

Re = vd/μ,     где μ = 1.8·10^-5 м²/с - кинематическая вязкость воздуха,

задает границу между турбулентным и ламинарным течением: при Re, меньших Re_кр ≈ 2500, течение ламинарно, больших - турбулентно. Для случая сильного ветра в узком пещерном ходе (возьмем v=5м/c, d=0.5м) получим Re=1.4·10⁵, что означает глубокую турбулентность. В этом случае для определения гидравлического сопротивления можно использовать формулу Прандтля-Никурадзе [4]

λ=1/(1.14-2·lg(k/d))²,             (5)

что дает λ ≈ 0.05, где мы положили k=1см (согласно [4], например, коэффициент шероховатости для бетонных труб k=0.3-0.9см). Расчет по формуле (4) дает для 10-метровой трубы Δp=16Па, что в пересчете на эквивалентную высоту воздушного столба Δh=Δp/(ρg) дает 1.3м. Если проход не круглый, а вытянутый (щелевидный), то в силу того, что сила трения при прочих одинаковых параметрах пропорциональна площади соприкосновения, вполне можно умножить указанную высоту на два.

Теперь обратимся к оценке местных гидравлических сопротивлений.
Отметим, что "в трубопроводных системах различных установок на долю местных гидравлических сопротивлений может приходиться до 50% от общего гидравлического сопротивления системы"[4]. Расчет производится по формуле

Δp=Σ ζ_i ρv²/2,             (6)

где ζ_i - коэффициент местного гидравлического сопротивления.
В частности, для входа/выхода из трубы в объем ζ_i=0.5, а для диафрагмы диаметром d₁ в прямой трубе диаметром d при d₁/d равном 0.8, 0.6, 0.5, 0.4, 0.3, имеем для ζ_i соответственно 0.5, 12, 30, 86, 300 [4]. Так, для d₁/d=0.5 при скорости v=2м/с получим 60Па, или примерно 6м в пересчете на высоту. Конечно, в пещере сужения не имеют вид тонкой диафрагмы, и местные сопротивления ζ_i имеют, скорее всего, величину порядка 1-4 (сравнимую с сопротивлением колен в трубах, составляющих 1.5-3.5[4]), зато встречаются часто.

В результате, учитывая как трение, так и местные гидравлические сопротивления, приходим к выводу, что на узости длиной 15-20 метров с сильным ветром (3-5 м/c) при наиболее неблагоприятном раскладе можно "набрать" до 10 метров высоты. То есть при измерении горизонтального хода баронивелирование покажет разность высот в 10 метров. Отсюда рекомендация - узкие места (в том числе завалы с сильным током воздуха) должны промеряться другими методами (полуинструментальной съемкой или гидронивелированием).

Очевидна, впрочем, необходимость проведения измерений для уточнения соответствующих гидравлических сопротивлений - пещера все-таки не трубопровод.

Так как согласно (4) при одинаковом расходе Δp ~ 1/d⁵, то перепады давления приурочены исключительно к узостям. Пусть, например, мы имеем 1 метр узости d₁=0.5м и галерею d=2.5м. Отношение диаметров равно 5, (d/d₁)⁵=5.6·10³. В широких местах скорость потока составляет не более нескольких см/с, число рейнольдса Re < Re_кр (в диапазоне от 300 до 1000), течение ламинарно, в этих условиях λ = 64/Re, λ ≈ 0.2. Cоответственно перепад давления, возникающий за счет трения, на этом метре узости будет тот же, что и на 5.6·10³·0.04/0.2 ≈ 1 000 м галереи!

Вернемся теперь к вопросу - какую все же температуру подставлять в (3) - пещерную или поверхностную?

Рассмотрим следующую задачу, на которую мое внимание любезно обратил Д.Усиков (см. [6]). Вообразим вертикально стоящую трубу одинакового диаметра по всей высоте, открытую снизу и сверху, в которой поддерживается постоянная температура, большая (или меньшая) температуры окружающего воздуха. Вопрос в том, насколько профиль давления в трубе будет отличаться от профиля давления снаружи.

Предположим, что труба не очень высокая, и разностью плотностей воздуха внизу и вверху можно пренебречь. Для стационарного движения несжимаемой жидкости или газа по трубе из уравнения Навье-Стокса легко получить[7], что производная давления по высоте dp/dz=0, и если давление на концах трубы одинаково, то и давление внутри трубы равно наружному. То есть в этом случае сила трения, действующая на слой воздуха, точно компенсируется силой тяжести, действующей на этот же слой.

Если труба высокая (порядка километра), то пренебрегать этой разностью плотностей уже нельзя, и в результате имеем нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка (отметим, что в уравнении Навье-Стокса в этом случае надо оставить член, пропорциональный div v, учитывающий сжимаемость воздуха, т.е. решать уравнение (15,6) из [7]). Однако, учитывая проведенный выше анализ, показывающий крайнюю неравномерность изменения давления при наличиии узостей, даже знание точного решения этого уравнения для повышения точности измерения высоты много не даст. Можно лишь заключить, что если в пещере с сильным током воздуха узости распределены сравнительно равномерно, то расчет глубины надо производить по формуле (3), в которую входит температура, близкая к температуре поверхности. Если же все узости сосредоточены внизу пещеры - то температуру, близкую к температуре пещеры.

В любом случае, для уточнения точности метода синхронного баронивелирования надо проводить эксперименты, и в этом отношении особенно интересны измерения в разные времена года в одних и тех же глубоких пещерах.

Литература

[1] Дьяков Б.Н. ГЕОДЕЗИЯ. Электронная версия учебного пособия по дисциплине "Геодезия" для студентов геодезических и негеодезических специальностей Сибирской государственной геодезической академии (СГГА).
[2] Б.Р.Мавлюдов, Д.А.Усиков. Предварительный отчет об исследованиях пещеры "Снежная" Западно-Кавказским карстово-гляциологическим отрядом отдела гляциологии Института географии АН СССР (июнь-июль, 1979). Москва, 1979, 73с.
[3] В.Н.Дублянский, Б.А.Вахрушев, Г.Н.Амеличев, Ю.И.Шутов. Красная пещера. Опыт комплексных карстологических исследований. Москва, Изд-во РУДН, 2002.
[4] Тамбовский Государственный технический университет. Интернет версия учебного пособия по дисциплине "Машины и аппараты химических производств" Гидравлический расчет трубопровода.
[5] Дм.Шварц, cml#6333.
[6] Д.А.Усиков, cml#6464.
[7] Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

23.10.04